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第４節 力学的エネルギー
先ず，放物運動について，運動エネルギーの変化と仕事の関係を求める。この関係
は，物理Ⅱでは，等加速度運動の式から求めることができるが，物理Ⅰでは平面内の
運動を扱っていないので，まだ求めることはできない。この関係式は，位置エネルギ
ーから運動エネルギーへの変換と捉え直すことができ，さらに，移項して，力学的エ
ネルギーの保存と捉えることができる。
そののち，糸の引く力，あるいは面の垂直抗力がはたらいていても仕事しないとき
は，同様の関係が成り立つことを調べて，力学的エネルギー保存の法則の理解を深め
ることができる。
力学的エネルギー保存の法則は，運動方程式を一度積分したものにほかならないが，
運動方程式が数学的に正確には解けない場合でも，運動する物体の位置と速さの関係
が明らかになるので，力学の問題を解く上できわめて有用である。
物体を移動させたとき，ある力のする仕事が途中の道筋によらないで決まる場合，
その力を保存力という。重力，弾性力，万有引力，静電気力は保存力である。それ
に対して，たとえば動摩擦力の場合，始点と終点を決めても，移動距離が長くなれば
動摩擦力のる仕事の絶対値は大きくなる。このように，物体を移動させるとき，力の
する仕事が，途中の道筋によって異なる力を非保存力という。非弾性突をするとき
にはたらく力も非保存力である。
力が保存力の場合，基準点をOで力のする仕事が決まるから，物体が初めにあった
位置で力のする仕事が決まってしまう。このとき，物体を点Aから基準点Oまで移動
させたとき，力がする仕事を，点Aに物体があるときの位置エネルギーと定めること
ができる。すなわち，保存力の場合は，物体の位置を決めるだけで，力がする仕事の
量が決まってしまうので，位置エネルギーを定めることができるのである。この場合
は，
(力がする仕事)=(位置エネルギーの減少分)……①
という関係がなりたつことになる。
一方，運動方程式を積分することにより，
(運動エネルギーの増加分)=(力がした仕事)……②
の関係がなりたつから，式①，②より，
(運動エネルギーの増加分)＝(位置エネルギーの減少分)……③
すなわち，
(運動エネルギー)＋(位置エネルギー)=一定
という力学的エネルギー保存の法則がなりたつのである。なお，式③はエネルギーの
変換を表しているといえる。
力が非保存力の場合は，式②はなりたつが，力のする仕事を，式①のように位置エ
ネルギーの減少分に書き換えることができない。よって，力学的エネルギー保存則は
成り立たない。この場合は，式②を用いてエネルギーの計算を行わなければならない。
以上の関係からわかるように，
『力学的エネルギー保存の法則が成り立つのは，保存力のみが仕事をする場合
(非保存力が仕事をしない場合)である。』
ということができる。
ねらい 弾性力による位置エネルギーから運動エネルギーへ，さらに重力による位
置エネルギーへとエネルギーの形態が変わっていくことを理解するとともに，力学
的エネルギー保存の法則を確かめる。
準備 プラスチックばね(東急ハンズで扱っている)メジャー，鉛筆など
方法と留意点 ・高さの記録は，黒板に印を付けてもよいし，壁に打点式タイマー
で使う紙テープを貼ってもよい。
・ばねの下端を持って伸ばすこと。途中を持って伸ばすと，ばね定数の大きなばね
を伸ばしたのと結果的に同じことになってしまう。
・最高点の高さにはかなりばらつきが出るので，必ず何回か測定をして，平均を出
す。
データ例 参考までに，ばねを1cmずつ伸ばしたときの最高点の高さ及び，高さの
平方根のグラフを以下に示す。
たとえば，摩擦力が仕事をするときには，教科書p.138式(12)に示したように，
(力学的エネルギーの変化)=(動摩擦力のした負の仕事)……④
となるが，これは上記の式②に対応する式となる。ここで，
－(動摩擦力のした負の仕事)＝(物体が動摩擦力に逆らってした仕事)＝(摩擦に
よって熱になったエネルギーなど)
であることを考慮すると，
(初めの力学的エネルギー)＝(後の力学的エネルギー)＋(摩擦によって熱になった
エネルギーなど)
となることがわかり，全エネルギーが保存することがわかる。
水平面上の2点，A点からO点まで物体を移動させるとき，物体にはたらく動摩
擦力はつねに物体の速度とは逆向きである。したがって，物体の移動した経路の長
さをsとすると，動摩擦力Fのする仕事Wは，
W＝Fcos180°＝－F
となり，│W│の値は物体の移動した経路の長さsによって異なり，始点Aと終点
Oを決めただけでは決まらない。すなわち，動摩擦力は非保存力である。
このような非保存力のする仕事が0でない場合は，力学的エネルギーが保存され
ない。このような場合は，運動方程式を積分して得た式(教科書p.129式(7))に戻っ
て考えなければならない。すなわち，重力，垂直抗力，動摩擦力以外の力がはたら
かないとき，
(物体の運動エネルギーの変化)＝(動摩擦力のした仕事)
＝(動摩擦力の大きさ)×(距離)×cos180°
＝－(動摩擦力の大きさ)×(距離)＜0
このように，動摩擦力が加わると，普通，運動エネルギーが減少する。一般に，動
摩擦力のほかに，重力などの保存力がはたらいている場合は，力学的エネルギーが
(動摩擦力)×(距離)に等しい分だけ減少する。したがって，
(力学的エネルギーの変化)＝(動摩擦力のした仕事)
すなわち，
(力学的エネルギーの減少分)＝(動摩擦力の大きさ)×(距離)
という関係がなりたつ。
速度v1で運動していた質量mlの物体が，速度v2で運動していた質量m2の物
体に衝突し，衝突後の速度をそれぞれv1¢，v2¢，はねかえりの係数をeとすると，
①②より， 
このv1¢，v2¢を用いて，衝突後の運動エネルギー 
を計算
し，衝突前の運動エネルギー 
との差をつくると，
この結果からも，e＝1の弾性衝突に限ってK＝K¢となり，衝突の前後で運
動エネルギーが保存され，e＜1の場合には必ずK¢＜Kとなり，運動エネルギー
が失われることがわかる。
力学における保存則の確立という点で歴史的な興味があるのは，デカルト(R.
Descartes1596～1650)とライプニッツ(G.W.Leibniz1646～1716)の主張である。デ
カルトは，運動物体に含まれる「力」(vis motrix動力)が，その物体の質量(m)
と速度(v)との積mvで与えられると考えた。ところが，ライプニッツは，自由落
下する物体の運動において，物体をある高さだけ持ち上げるときに要する仕事が同
じなら，逆にその物体が地上に到達したときに得る「力」が等しいはずだと考えた。
ガリレイの落体の法則より，この仕事がmv2に比例するので，mv2が「力」(vis
viva活力)を表すものと主張したのである。
これから，運動物体に内在する「力」の表現についての長い論争が始まった。し
かし，いまからみれば，この論争には，2つの違った内容があることが明らかであ
る。そして異なったものを同じような名前でよぶことに混乱の原因があった。デカ
ルトの考えた「力」と，ライプニッツの考えた「力」とは本来違う量である。さら
に，現在ニュートン力学の意味でわれわれが力とよぶ量は，両者のいずれとも異な
る量である。デカルトの導入した量を運動量とよび，ライプニッツの導入した量に
相当する量を運動エネルギーとよぶことは，今日の常識になっている。
mv2のかわりに1/2mv2という量を導入して，それを活力とよんだのはコリオリ
(G.G.Coriolis1792～1843)である。19世紀半ば，熱力学の第1法則が確立された当
時も，エネルギーに相当するものを力とよぶ習慣が強かった。
以上の説明で，運動物体のもつ量とか，運動物体に内在する量とかいう言葉は，
これを適当に解釈すれば，保存する量を意味することになる。そして運動量もエネ
ルギーもそれぞれ保存則を満たす量である。ニュートン力学が確立する以前に，運
動量の保存とエネルギーの保存とが，あいまいな形であるが，ある程度予想されて
いたということは，歴史的にみてまことに興味深い。
参考文献；「初等物理学講座4」(小山書店)
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